根据 Schei1 公式 1.14 和表 3.2中的参数可以计算杂质在定向凝固过程中的理论分布曲线。分析理想状态下杂质分布和实际的区别，进一步研究不同晶粒形貌生长过程中对杂质分凝行为的影响。

B 杂质的平衡分凝系数比较大，选取平衡分凝系数作为有效分凝系数(keg-0.8)计算其杂质的理论分布数值，如图 3.4(a)曲线所示。铸锭中心区域和边缘区域的B杂质含量分别如图中黑色和红色点所示，二者含量几乎一致。无论是柱状晶生长还是不规则晶粒生长,大部分实际测量数值落在了理论计算曲线上。结果表明,多晶硅定向凝固过程中，B 杂质的含量符合用平衡分凝系数的计算值，和晶粒形貌生长方式无关。Al的平衡分凝系数较小，论文选取略大于平衡分凝系数的有效分凝系数(ke/-8.12x10-)计算其杂质的理论计算数值，如图 3.4(b)曲线所示。

中间区域和边缘区域的 Al杂质含量分别如图中黑色和红色点所示，二者含量存在一定差别。无论是柱状晶生长还是不规则晶粒生长，其实际分布测量点都在理论计算曲线附近。结果表明，多晶硅定向凝固过程中，Al杂质的分布规律符合恒定有效分凝系数计算值，和晶粒形貌生长方式无关多晶硅定向凝固过程中，柱状晶生长对应稳定的固液界面，不规则晶粒生长对应不稳定的固液界面。无论何种晶粒形貌生长方式，B和Al杂质的有效分凝系数都可以看做是一个定值，其分凝行为不受晶粒形貌生长方式即固液界面稳定性的影响。

Fe、Ti、Cu 和 Ni 杂质的有效分凝系数分别是 1.98x10^-3，1.04x10^-3，5.81x10^-3和4.40x10^-3，分别进行理论计算，其杂质含量计算结果如图3.5曲线所示。铸锭中心区域和边缘区域的杂质含量分别如图中黑色和红色点所示，杂质测量点在不规则晶粒生长过程中偏离理论计算曲线，在中间柱状晶粒开始生长时，杂质点逐步接近理论计算曲线，柱状晶粒稳定生长时，杂质测量点落在了理论计算曲线上，当后期柱状晶粒开始转变不规则晶粒生长区时，杂质又开始偏离理论计算曲线。

Fe 杂质的分布规律如图 3.5(a)所示。铸锭中心区域的 Fe 杂质含量略高于边缘区域的 Fe杂质含量。在铸锭底部晶体形核区域，中心区域和边缘区域的Fe杂质含量分别是4.31 ppmw 和 1.85 ppmw，其含量略高于凝固分数为50.0%时的杂质含量。随后随着不规则晶粒生长，杂质含量急剧上升。柱状晶开始生长后，中心区域三个测量点的杂质含量开始降低，依次是78.48ppmw、5.17ppmw和2.91ppmw;边缘区域三个测量点的杂质含量依次是 75.98ppmw、2.96ppmw和 0.82ppmw;当晶体生长凝固分数为 50.0%时，二者杂质含量达到最低值。在不规则晶粒生长区域的Fe杂质含量都在73.81ppmw 以上，都远远高于柱状晶区域的 Fe杂质的含量。

Ti 杂质的分布规律如图 3.5(b)所示。铸锭中心区域的 Ti 杂质含量和边缘区域的 Ti杂质含量差别不大。在铸锭底部晶体形核区域的中心区域和边缘区域的Ti杂质含量分别是 0.17ppmw和 0.14ppmw。随后随着不规则晶粒生长，杂质含量急剧上升。状晶开始生长后，中心区域三个测量点的杂质含量依次是5.16ppmw，0.24ppmw和0.07ppmw;边缘区域三个测量点的杂质含量依次是5.07ppmw，0.18ppmw和0.06ppmw;二者杂质含量几乎没有差别，随着晶体生长凝固分数为50.0%时，中心和边缘的杂质含量达到最低值。只有在不规则晶粒生长,凝固分数为 74.0%时,边缘 Ti杂质含量为 81.90ppmw，中心的 Ti杂质含量为 23.00ppmw。在不规则晶粒生长区域的 Ti 杂质含量都在5.18ppmw 以上，远远高于柱状晶区域Ti杂质的含量。

Cu 杂质的分布规律如图 3.5(c)所示。在铸锭底部中心区域和边缘区域区别不大，Cu 杂质含量分别是0.78ppmw和0.60ppmw。随后随着不规则晶粒生长，杂质含量急剧上升。柱状晶开始生长后，铸锭中心区域的 Cu杂质和边缘区域的Cu杂质含量几乎相等，都是依次降低。中心区域三个测量点的杂质含量分别是1.56ppmw，0.39ppmw和0.33 ppmw;边缘区域三个测量点的杂质含量分别是1.48ppmw,0.39ppmw和 0.27ppmw;凝固分数为 50%时达到最低值。在刚开始以不规则晶粒生长时，中心区域的Cu杂质含量高于边缘区域的杂质含量;而在后期以不规则晶粒生长时，中心区域的Cu杂质含量低于边缘区域的杂质含量。在不规则晶粒生长区域的Cu杂质含量都在 2.27ppmw以上，远远高于柱状晶区域的 Cu 杂质的含量。

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Ni杂质的分布规律如图3.5(d)所示。在铸锭底部中心区域和边缘区域存在一定差别，Ni杂质含量分别是1.65ppmw和1.50ppmw。随后随着不规则晶粒生长，杂质含量急剧上升。柱状晶开始生长后,铸锭中心区域的Ni杂质含量略高于边缘区域的Ni杂质含量。中心区域三个测量点的杂质含量分别是6.31ppmw，1.09ppmw和0.74ppmw，杂质含量最低点与其他杂质含量的最低点位置相同，都是凝固分数为50.0%;边缘区域三个测量点的杂质含量分别是6.06ppmw，0.62ppmw和0.64ppmw，杂质含量最低点时凝固分数为 38.0%。在不规则晶粒生长区域的Ni杂质含量都在 6.34 ppmw 以上，远远高于柱状晶区域的 Ni杂质含量。

多晶硅定向凝固过程中，过渡族杂质的分布随着晶粒形貌生长方式的变化而改变只有柱状晶粒生长即稳定固液界面的时间，过渡族杂质具有良好的分凝效果，其有效分凝系数维持在较低水平。这表明在多晶硅定向凝固过程中，过渡族杂质分凝行为受到晶体形貌的影响。

通过公式(1.13)和实际测量数值,计算出杂质在定向凝固过程中,凝固分数小于 70%以内的杂质的有效分凝系数，其具体数值通过柱状图表示，如图 3.6所示。图 3.6(a)和(b)分别显示了铸锭凝固过程中中心区域和边缘区域各个点的有效分凝系数。

铸锭中心区域内，Fe、Ti、Cu和 Ni杂质的有效分凝系数随着凝固分数的增加而变化的。在凝固分数为 2.0%时即晶体形核时期，Fe、Ti、Cu和 Ni杂质的有效分凝系数分别是 6.41x10^-3，4.77x10^-3，2.67x10^-2和1.92x10^-2。在不规则晶粒生长时，当凝固分数为 14.0 %时，杂质有效分凝系数分别是6.40x10^-1，8.24x10^-1，1.17x10^-1和 3.35x10^-1，成为最大有效分凝系数。随着柱状晶的出现，有效分凝系数开始逐步降低，凝固分数为 50.0%时即柱状晶中心位置时，有效分凝系数分别是 2.21x10^-3，1.01x10^-3，5.81x10^-3和4.38x10^-3，成为最小有效分凝系数。随着不规则晶粒的出现，其有效分凝系数又开始逐步上升，在凝固分数为 62.0%时，有效分凝系数分别是5.36x10^-2，7.05x10^-2，1.71x10^-2和2.86x10^-2，如图 3.6(a)所示。

铸锭边缘区域的 Fe、Ti、Cu和 Ni杂质的有效分凝系数随着凝固分数的增加而变化，其整体有效分凝系数小于中心区。当凝固分数为2.0%时即晶体形核时期，Fe、Ti、Cu和 Ni 杂质的有效分凝系数分别是 2.75x10^-3，3.79x10^-3，2.06x10^-2和 1.74x10^-2。在不规则晶粒生长过程中,当凝固分数为 14.0%时,杂质有效分凝系数分别是 2.17x10^-1,2.85x10^-1，6.91x10^-2和 1.26x10^-1，成为最大有效分凝系数。随着柱状晶的出现，有效分凝系数开始逐步降低，凝固分数为50.0%时即柱状晶中心位置时，其有效分凝系数分别是 6.24x10^-4，8.62x10^-4，3.80x10^-3和 4.59x10^-3，成为最小有效分凝系数。随着不规则晶粒的出现，其有效分凝系数开始逐步上升，在凝固分数为62.0%时，其有效分凝系数分别是 5.36x10^-2，7.05x10^-2，1.71x10^-2和 2.86x10^-2，如图 3.6(b)所示。结果表明，杂质的有效分凝系数只有在柱状晶生长的阶段是最低的，Fe、Ti、Cu和Ni的有效分凝数最低，分别是6.24x10^-4，8.62x10^-4，3.80x10^-3和4.59x10^-3，其有效分凝系数达到 10^-3的数量级。

在多晶硅初始阶段，即异质形核阶段，计算得到的有效分凝系数也接近中间柱状晶有效分凝系数。表明刚开始凝固的时候虽然不是柱状晶形貌，但是依然是柱状晶粒的初始阶段。不规则晶粒中的有效分凝系数值都远远高于柱状晶的生长过程中的有效分凝系数值。